Algebra:

Rama de las matemáticas que estudia la cantidad del modo más general.

Diferencia entre aritmética y algebra:

En aritmética las cantidades se representan con números y en algebra se representan con letras.

Notación algebraica:

- Números

Representan cantidades conocidas y determinadas.

- Letras

Representan cantidades conocidas y no conocidas.

- Cantidades conocidas

Se representan con las primeras letras del alfabeto (a, b, c…)

- Cantidades desconocidas

Se representan con las últimas letras del alfabeto (u, v, w, x, y, z), además una misma letra puede representar varios valores diferenciándolas por comillas (a´, a´´, a´´´,…) que se leen a prima, a segunda, a tercera y así sucesivamente.

Fórmulas:

Las fórmulas algebraicas son la representación por medio de letras de una regla o un principio general (a = b x c)

Signos del algebra:

- Signos de operación

* Suma

El signo de la suma es (+)

* Resta

El signo de la resta es (-)

* Multiplicación

El signo de la multiplicación es (x) o (.)

* División

El signo de la división es (÷) o (/)

* Elevación a potencia

Es decir el exponente y su signo es (a²)

* Raíz

Su signo es (√)

- Signos de relación

Se emplean para indicar una relación entre dos cantidades (= que se lee igual, > que se lee mayor que, < que se lee menor que)

- Signos de agrupación

Indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero: ( ) paréntesis ordinario, [ ] paréntesis angular o corchete, { } llaves, ___ barra o vínculo.

Coeficiente:

En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es el coeficiente del otro factor.

- Numérico

En el producto 5a el factor 5 es el coeficiente de el factor a.

- Literal

En el producto ab el factor a es el coeficiente de el factor b.

Métodos para resolver problemas en aritmética y en álgebra:

Damos un ejemplo del mismo ejercicio realizado de ambas formas.

- Método aritmético

La edad de A mas la edad de B = 75 años, si la edad de B es 4 veces la edad de A ¿Qué edad tiene cada uno?

Entonces: edad de A mas 4 veces la edad de A = 75 años

Luego A + 4A = 75 años

Nos queda 5A = 75 años

Despejamos A, luego A = 75 años/5

Esto será la edad de A = 15 años

Así la edad de B = 4 veces la edad de A

B = 4A donde reemplazamos A por 15

La edad de B = 4 x 15

La edad de B = 60 años

- Método algebraico

Como la edad de A es desconocida la representamos con una x

O sea x = edad de A

Entonces como sabemos que la edad de B es 4 veces la de A

Decimos que 4x = edad de B

Como ambas edades suman 75 años

x + 4x = 75 años

Nos queda 5x = 75 años

Despejamos x = 75 años/5

Esto es x = 15 años

Reemplazamos x en x = edad de A

Luego 15 años = edad de A

Reemplazamos x en 4x = edad de B

Queda (4)(15)= edad de B

La edad de B = 60 años

Vemos entonces como se resuelve el ejercicio de ambas formas.

Cantidades positivas y negativas:

Cuando vemos cantidades que pueden tener dos sentidos, esto es que tengan la condición de ser opuestas.

Así que las cantidades mayores a cero son positivas (+) y las cantidades menores a cero son negativas (-)

El Cero:

Es la ausencia de cantidad, esto es que ni es positiva (+) ni es negativa (-)

Valor absoluto y relativo:

- Absoluto

Cuando una cantidad es el número que representa la cantidad sin tener signo o sentido de la cantidad.

- Relativo

Es el sentido de la cantidad y está representado por el signo (+) o (-)

Cantidades aritméticas y algebraicas:

- Aritméticas

Expresan solamente el valor absoluto de las cantidades sin decir el sentido.

- Algebraicas

Expresan el valor absoluto de las cantidades y también el sentido o valor relativo por medio del signo (+) o (-)

Expresión algebraica:

Representación de un símbolo algebraico o de una o varias operaciones algebraicas (x, 7x, [a + b] c)

Término:

Expresión algebraica que tiene un solo símbolo o varios símbolos no separados por los signos (+) o (-) (x, 7c, 5ab, 4c/3d)

Grado de un término:

- Absoluto

Es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Ejemplo: El término 3a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2; el término a²b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus actores literales es 2 + 1 = 3

- Con relación a una letra

Es el exponente de dicha letra.

Ejemplo: El término cx³ es de primer grado con relación a c y de tercer grado con relación a x

Clases de términos:

- Entero

Es el que no tiene denominador literal.

- Fraccionario

Es el que tiene denominador literal.

- Racional

Es el que no tiene radical.

- Irracional

Es el que tiene radical.

- Homogéneos

Son los que tienen el mismo grado absoluto.

- Heterogéneos

Son los de distinto grado absoluto.

Clases de expresiones algebraicas:

- Monomio

Expresión algebraica de un solo término.

- Polinomio

Expresión algebraica de más de un término.

Un binomio es un polinomio de dos términos.

Un trinomio es un polinomio de tres términos.

- Grado de un polinomio

*Absoluto: Es el grado de su término de mayor grado.

*Con relación a una letra: Es el mayor exponente de dicha letra.

Clases de polinomios:

- Entero

Cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal.

- Fraccionario

Cuando alguno de sus términos tiene denominador literal.

- Racional

Cuando no contiene radicales.

- Irracional

Cuando tiene radicales.

- Homogéneo

Cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto.

- Heterogéneo

Cuando sus términos son de diferente grado absoluto.

- Completo

Con relación a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, de mayor a menor.

- Ordenado

Con respecto a una letra es en el cual los exponentes de una letra escogida van aumentando o disminuyendo.

Términos semejantes:

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

Números Reales:

Positivos – Racionales – Enteros
------------------------ Fraccionarios
----------- Irracionales

Cero

Negativos – Racionales – Enteros
------------------------- Fraccionarios
------------ Irracionales

Leyes fundamentales de los números reales (AXIOMAS):

- Igualdad

• Identidad

a = a

• Reciprocidad

Si a = b entonces b = a

• Transitividad

Si a = b y b = c entonces a = c

- Suma

• Uniformidad

La suma de dos números es siempre igual. Si a =b y c = d entonces a + c = b + d

• Conmutatividad

a + b = b + a

• Asociatividad

(a + b) + c = a + (b + c)

• Identidad

a + 0 = 0 + a = a

- Multiplicación

• Uniformidad

El producto de dos números es siempre igual. Si a = b y c = d entonces ac = bd

• Conmutatividad

ab = ba

• Asociatividad

(ab) c = a (bc)

• Distributividad

a (b + c) = ab + ac

• Identidad

a . 1 = 1 . a entonces a = a

• Existencia del inverso

Para todo número real a ≠ 0 corresponde un número real, y solo uno, x, entonces ax = 1, luego este número se llama inverso de a, x = 1/a

- Orden

• Tricotomía

Si hay dos números reales a y b solo puede existir una relación entre ambos, a > b, a = b o a < b

• Monotonía de la suma

Si a > b entonces a + c > b + c

• Monotonía de la multiplicación

Si a > b y c > 0 entonces ac > bc

- Continuidad

Si hay dos conjuntos de números reales A y B de tal forma que todo número de A sea menor que cualquier número de B, existirá siempre un número real c con el que se verifique a ≤ c ≤ b, esto si a es un número que pertenece al conjunto A y b es un número que pertenece al conjunto B.